hhjc.net
当前位置:首页 >> 等价无穷小量证明 >>

等价无穷小量证明

直接使用泰勒公式展开,(1+x)^(1/n)=1+x/n+(1-n)/n^2*2!*x^2+.从第三项开始都是x的高阶无穷小量,故(1+x)^(1/n)~1+x/n也即(1+x)^(1/n)-1~x/n

熟记常用等价无穷小量及其和差. 一般情形,使用洛必达(L\\'Hospital)法则,或者Taylor公式. 举例:x→0时,sinx-x的等价无穷小量? 方法一:设x→0时,sinx-x~Ax^k.A,k待定.由洛必达法则, x→0时,lim(sinx-x)/Ax^k=lim(cosx-1)/Akx^(k-1

解:lim(x→0)[(1+x)^a/ax] =lim(x→0)[a(1+x)^(a-1)/a](洛必达法则) =lim(x→0)[(1+x)^(a-1)] =1 故当x趋于0时(1+x)^a~ax 两者为等价无穷小

原式→1+x~(1+x/n)^n→1+x~(1+x/n)^[(n/x)*x]→1+x~e^x→ln(1+x)~x

这是高数中的一个定理 证明时可以将右边的除到左边来,利用洛毕达法则,同时求导,最终可得为1,则证明了等价无穷小

证明一:利用①exp(u)-1~u;②ln(1+t)~t;③等价无穷小具有传递性.可得: (1+x)^(1/n)-1=exp[(1/n)ln(1+x)]-1~(1/n)ln(1+x)~(1/n)x 证明二:只给提示【利用分子有理化】 (1+x)^(1/n)-1=[(1+x)-1^n]/【[(1+x)^(n-1)/n]+[(1+x)^(n-2)/n]+[(1+x)^(n-3)/n]+[(1+x)^(n-4)/n]+……+1】.

洛氏法则是根据柯西中值定理来的,我不会编辑公式.补充定义FX,GX在X为0处为0,即符合柯西中值定理条件,X趋于0,ζ亦趋于0.即ζ趋于X.

等价无穷小就是比值的极限趋于1.证明arcsinx / x的极限是1就可以了.用罗比达法则就行.

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by www.hhjc.net
copyright ©right 2010-2021。
内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com